Question

[Phạm Lợi]

Bài 1: Cho a,b dương sao cho a+b=1. Chứng minh rằng: \(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{a+2b}\ge\frac{1}{3}\)

bài 2: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x+y=2019. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= \(\frac{x}{\sqrt{2019-x}}+\frac{y}{\sqrt{2019-y}}\)

bài 3: Cho x>0, y>0 là những số thay đổi thỏa mãn \(\frac{2018}{x}+\frac{2019}{y}=1\). tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x+y

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{2a+b}\geq \frac{(a+b)^2}{a+2b+2a+b}=\frac{(a+b)^2}{3(a+b)}=\frac{a+b}{3}=\frac{1}{3}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} \frac{a}{a+2b}=\frac{b}{2a+b}\\ a+b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:

Vì $x+y=2019$ nên $2019-x=y; 2019-y=x$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(P=\frac{x}{\sqrt{2019-x}}+\frac{y}{\sqrt{2019-y}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{x}}\geq \frac{(x+y)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}\)

Mà theo BĐT AM-GM và Bunhiacopxky:

\((x\sqrt{y}+y\sqrt{x})^2\leq (xy+yx)(x+y)=2xy(x+y)\leq \frac{(x+y)^2}{2}.(x+y)=\frac{(x+y)^3}{2}\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{(x+y)^2}{\sqrt{\frac{(x+y)^3}{2}}}=\sqrt{2(x+y)}=\sqrt{2.2019}=\sqrt{4038}\)

Vậy \(P_{\min}=\sqrt{4038}\Leftrightarrow x=y=\frac{2019}{2}\)